Một i-đê-an I {\displaystyle I} của một vành giao hoán R {\displaystyle R} được gọi là i-đê-an nguyên tố nếu nó có hai tính chất sau:[1][2]

• Nếu a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} là hai phần tử của R {\displaystyle R} sao cho tích a b {\displaystyle ab} là phần tử của I {\displaystyle I} , thì a {\displaystyle a} là phẩn tử của I {\displaystyle I} hoặc b {\displaystyle b} là phần tử của I {\displaystyle I} .
• I {\displaystyle I} không phải là toàn bộ vành R {\displaystyle R}

Ví dụ

• Với R = Z , {\displaystyle R=\mathbb {Z} ,} tập hợp các số chẵn là một i-đê-an nguyên tố, được ký hiệu là 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } .
• Trong một vành R {\displaystyle R} , một i-đê-an tối đại là một i-đê-an M {\displaystyle M} tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các i-đê-an thực sự của R {\displaystyle R} , tức là M {\displaystyle M} được chứa trong chính xác hai i-đê-an của R {\displaystyle R} : M {\displaystyle M} và R {\displaystyle R} . Một i-đê-an tối đại thì là nguyên tố.[2]
• Nếu X {\displaystyle X} là một đa tạp trơn, R = C ∞ ( X ) {\displaystyle R={\mathcal {C}}^{\infty }(X)} là vành các hàm thực trơn trên X {\displaystyle X} và x {\displaystyle x} là một điểm của X {\displaystyle X} thì tập hợp tất cả các hàm trơn f {\displaystyle f} với f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} tạo thành một i-đê-an tối đại, và do đó nguyên tố, của R {\displaystyle R} .

Tính chất

• Một i-đê-an I {\displaystyle I} của một vành R {\displaystyle R} (có đơn vị) là nguyên tố khi và chỉ khi vành thương R / I {\displaystyle R/I} là một miền nguyên. Nói riêng, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi ( 0 ) {\displaystyle (0)} là một i-đê-an nguyên tố.[1]
• Tổng của hai i-đê-an nguyên tố không nhất thiết là nguyên tố. Ví dụ, vành C [ x , y ] {\displaystyle \mathbb {C} [x,y]} có các i-đê-an nguyên tố P = ( x 2 + y 2 − 1 ) {\displaystyle P=(x^{2}+y^{2}-1)} và Q = ( x ) {\displaystyle Q=(x)} . Tổng của chúng là P + Q = ( x 2 + y 2 − 1 , x ) = ( x , y 2 − 1 ) {\displaystyle P+Q=(x^{2}+y^{2}-1,x)=(x,y^{2}-1)} không phải là nguyên tốt: y 2 − 1 = ( y − 1 ) ( y + 1 ) ∈ P + Q {\displaystyle y^{2}-1=(y-1)(y+1)\in P+Q} nhưng hai thừa số của nó lại không nằm trong P + Q {\displaystyle P+Q} .